FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

O tensor tensão-energia , às vezes tensor tensão-energia-momento ou tensor energia-momento , é uma quantidade tensorial na física que descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo , generalizando o tensor tensão da física newtoniana . É um atributo da matéria , radiação e campos de força não gravitacionais . O tensor energia-estresse é a fonte do campo gravitacional noEquações do campo de Einstein da relatividade geral , assim como a densidade de massa é a fonte desse campo na gravidade newtoniana .

Definição [ editar ]

O tensor energia-estresse envolve o uso de variáveis ​​sobrescritas ( não expoentes; veja notação de índice de tensão e notação de soma de Einstein ). Se as coordenadas cartesianas em unidades SI são usados, então os componentes da posição quatro do vector são dadas por: x ⁰ = t , x ¹ = x , x ² = y , e x ³ = z , em que t é o tempo em segundos, e x , y , e z são distâncias em metros.

O tensor tensão-energia é definido como o tensor T ^αβ da ordem dois que fornece o fluxo do a- ésimo componente do vetor de momento através de uma superfície com coordenadas x ^β constantes . Na teoria da relatividade , esse vetor de momento é tomado como o quatro momentos . Na relatividade geral, o tensor energia-tensão é simétrico, ^[1]

$${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = T ^ {\ beta \ alpha}.}

x

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Em algumas teorias alternativas, como a teoria de Einstein-Cartan , o tensor energia-tensão pode não ser perfeitamente simétrico devido a um tensor de rotação diferente de zero , que geometricamente corresponde a um tensor de torção diferente de zero .

Identificando os componentes do tensor [ editar ]

Como o tensor energia-tensão é da ordem dois, seus componentes podem ser exibidos na forma de matriz 4 × 4:

{\ displaystyle (T ^ {\ mu \ nu}) _ {\ mu, \ nu = 0,1,2,3} = {\ begin {pmatrix} T ^ {00} e T ^ {01} e T ^ {02 } & T ^ {03} \\ T ^ {10} & T ^ {11} & T ^ {12} & T ^ {13} \\ T ^ {20} e T ^ {21} & T ^ {22} e T ^ {23} \\ T ^ {30} e T ^ {31} e T ^ {32} e T ^ {33} \ end {pmatrix}}.}

x

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No seguinte, i e k gama de 1 a 3.

O componente tempo-tempo é a densidade da massa relativística, ou seja, a densidade de energia dividida pela velocidade da luz ao quadrado. ^[2] Seus componentes têm uma interpretação física direta. No caso de um fluido perfeito, este componente é

$${\ displaystyle T ^ {00} = \ rho,}

Onde $${\ displaystyle \ rho}é a massa relativística por unidade de volume e, para um campo eletromagnético em outro espaço vazio, esse componente é

$${\ displaystyle T ^ {00} = {1 \ over c ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ direita),}

x

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onde E e B são os campos elétrico e magnético, respectivamente. ^[3]

O fluxo de massa relativística através da superfície x ⁱ é equivalente à densidade do i- ésimo componente do momento linear,

$${\ displaystyle T ^ {0i} = T ^ {i0}.}

Os componentes

$${\ displaystyle T ^ {ik}}

representam o fluxo do i- componente do momento linear através da superfície x ^k . Em particular,

$${\ displaystyle T ^ {ii}}

(não somado) representa estresse normal , que é chamado de pressão quando é independente da direção. Os componentes restantes

$${\ displaystyle T ^ {ik} \ quad i \ neq k}

representam tensão de cisalhamento (compare com o tensor de tensão ).

Na física do estado sólido e na mecânica dos fluidos , o tensor de tensão é definido como os componentes espaciais do tensor de energia e tensão no quadro de referência apropriado . Em outras palavras, o tensor de energia de estresse na engenharia difere do tensor relativista de estresse de energia por um termo convetivo de momento.

Formas covariantes e mistas [ editar ]

A maior parte deste artigo trabalha com a forma contravariante, T ^μν do tensor tensão-energia. No entanto, muitas vezes é necessário trabalhar com a forma covariante,

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = T ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ alpha \ mu} g _ {\ beta \ nu},}

ou a forma mista,

$${\ displaystyle T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ nu},}

ou como densidade tensorial mista

$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} {\ sqrt {-g}} \ ,.}

x

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Este artigo usa a convenção de sinal espacial (- +++) para a assinatura da métrica.

Lei de conservação [ editar ]

Na relatividade especial [ editar ]

Veja também: Momento angular relativístico e Quatro momentos

O tensor tensão-energia é a corrente Noether conservada associada às conversões de espaço - tempo .

A divergência do estresse não-gravitacional-energia é zero. Em outras palavras, energia não-gravitacional e momento são conservados,

$${\ displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} {}. \!}

x

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Quando a gravidade é insignificante e o uso de um sistema de coordenadas cartesianas para o espaço-tempo, isso pode ser expresso em termos de derivadas parciais como

$${\ displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ nu} = \ parcial _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu}. \!}

x

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A forma integral disso é

$${\ displaystyle 0 = \ int _ {\ parcial N} T ^ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu} \!}

x

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onde N é qualquer região quadridimensional compacta do espaço-tempo;$${\ displaystyle \ N parcial}é seu limite, uma hipersuperfície tridimensional; e$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu}} é um elemento do limite considerado como o apontador externo normal.

No espaço-tempo plano e usando coordenadas cartesianas, se alguém combinar isso com a simetria do tensor tensão-energia, pode-se mostrar que o momento angular também é conservado:

$${\ displaystyle 0 = (x ^ {\ alpha} T ^ {\ mu \ nu} -x ^ {\ mu} T ^ {\ alpha \ nu}) _ {, \ nu}. \!}

x

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Na relatividade geral [ editar ]

Quando a gravidade é insignificante ou quando se usa sistemas de coordenadas arbitrárias, a divergência da energia de estresse ainda desaparece. Mas, neste caso, é usada uma definição livre de coordenadas da divergência que incorpora a derivada covariante

$${\ displaystyle 0 = \ nome do operador {div} T = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ nu} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ sigma \ nu} T ^ {\ sigma \ nu} + \ Gamma ^ {\ nu} {} _ {\ sigma \ nu} T ^ {\ mu \ sigma}}

x

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Onde $${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ sigma \ nu}}é o símbolo de Christoffel que é o campo de força gravitacional .

Consequentemente, se $${\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}é qualquer campo vetorial Killing , a lei de conservação associada à simetria gerada pelo campo vetorial Killing pode ser expressa como

$${\ displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} (\ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu}) = {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} \ parcial _ {\ nu} ({\ sqrt {-g}} \ \ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu})}

x

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A forma integral disso é

$${\ displaystyle 0 = \ int _ {\ N parcial} {\ sqrt {-g}} \ \ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu} \ \ mathrm {d} ^ {3} s_ {\ nu} = \ int _ {\ N parcial} \ xi ^ {\ mu} {\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu} \ \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu}}

x

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Na relatividade geral [ editar ]

Na relatividade geral , o tensor simétrico de tensão-energia atua como fonte da curvatura do espaço-tempo e é a densidade de corrente associada às transformações de gravidade da calibre, que são transformações gerais de coordenadas curvilíneas . (Se houver torção , o tensor não será mais simétrico. Isso corresponde ao caso de um tensor de rotação diferente de zero na teoria da gravidade de Einstein-Cartan .)

Na relatividade geral, as derivadas parciais usadas na relatividade especial são substituídas por derivadas covariantes . O que isto significa é que a equação da continuidade não implica mais que a energia não-gravitacional e o momento expressos pelo tensor sejam absolutamente conservados, ou seja, o campo gravitacional pode trabalhar na matéria e vice-versa. No limite clássico da gravidade newtoniana , isso tem uma interpretação simples: a energia cinética está sendo trocada com a energia potencial gravitacional , que não está incluída no tensor, e o momento está sendo transferido através do campo para outros corpos. Na relatividade geral, o pseudotensor Landau – Lifshitz é uma maneira única de definir a gravidade gravitacional.energia de campo e densidades de momento. Qualquer um desses pseudotensores de energia de estresse pode desaparecer localmente por uma transformação de coordenadas.

No espaço-tempo curvado, a integral semelhante ao espaço agora depende da fatia espacial, em geral. De fato, não há como definir um vetor de momento de energia global em um espaço-tempo curvo geral.

As equações do campo de Einstein [ editar ]

Artigo principal: Equações de campo de Einstein

Na relatividade geral, o tensor de tensão é estudado no contexto das equações do campo de Einstein, que geralmente são escritas como

$${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} R \, g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu},}

x

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Onde $${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}é o tensor de Ricci ,$${\ displaystyle R}é o escalar de Ricci (a contração tensorial do tensor de Ricci),$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}é o tensor métrico , Λ é a constante cosmológica (desprezível na escala de uma galáxia ou menor) e$${\ displaystyle G}é a constante gravitacional universal .

Estresse-energia em situações especiais [ editar ]

Partícula isolada [ editar ]

Em relatividade especial, a tensão da energia de uma partícula não-interagindo com massa m e trajectória$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {p}} (t)} é:

$${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {m \, v ^ {\ alpha} (t) v ^ {\ beta} (t)} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \; \, \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {\ text {p}} (t)) = {\ frac { E} {c ^ {2}}}; v ^ {\ alpha} (t) v ^ {\ beta} (t) \; \, \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ { \ text {p}} (t))}

x

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Onde $${\ displaystyle (v ^ {\ alpha}) _ {\ alpha = 0,1,2,3} \!}é o vetor de velocidade (que não deve ser confundido com a velocidade de quatro velocidades , pois falta um$${\ displaystyle \ gama})

$${\ displaystyle (v ^ {\ alpha}) _ {\ alpha = 0,1,2,3} = \ left (1, {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ text {p}}} { dt}} (t) \ direita) \ ,,}

x

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δ é a função delta Dirac e$${\ displaystyle E = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}é a energia da partícula.

Estresse-energia de um fluido em equilíbrio [ editar ]

Para um fluido perfeito em equilíbrio termodinâmico , o tensor tensão-energia assume uma forma particularmente simples

$${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} \, = \ left (\ rho + {p \ over c ^ {2}} \ right) u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta} + pg ^ {\ Alpha Beta }}

x

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Onde $${\ displaystyle \ rho} é a densidade massa-energia (quilogramas por metro cúbico), $${\ displaystyle p}é a pressão hidrostática ( pascal ),$${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}é a velocidade de quatro do fluido , e$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}é o recíproco do tensor métrico . Portanto, o rastreamento é dado por

$${\ displaystyle T = 3p- \ rho c ^ {2} \ ,.}

x

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A velocidade quatro satisfaz

$${\ displaystyle u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta} g _ {\ alpha \ beta} = - c ^ {2} \ ,.}

Em um quadro de referência inercial que se move com o fluido, mais conhecido como quadro de referência apropriado do fluido , as quatro velocidades são

$${\ displaystyle (u ^ {\ alpha}) _ {\ alpha = 0,1,2,3} = (1,0,0,0) \ ,,}

o recíproco do tensor métrico é simplesmente

{\ displaystyle (g ^ {\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} \, = \ left ({\ begin {matrix} -c ^ {- 2} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) \,}

e o tensor energia-estresse é uma matriz diagonal

{\ displaystyle (T ^ {\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} = \ left ({\ begin {matrix} \ rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \ 0 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \ end {matriz}} \ direita).}

Tensor eletromagnético de tensão-energia [ editar ]

Artigo principal: tensor eletromagnético tensão-energia

O tensor de energia de tensão de Hilbert de um campo eletromagnético livre de fonte é

$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ nu \ beta} - {\ frac {1} {4}} g ^ {\ mu \ nu} F _ {\ delta \ gama} F ^ {\ delta \ gamma} \ right)}

x

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Onde $${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}é o tensor do campo eletromagnético .

Campo escalar [ editar ]

Artigo principal: Equação de Klein – Gordon

O tensor energia-estresse para um campo escalar complexo $${\ displaystyle \ phi} que satisfaz a equação de Klein-Gordon é

$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} (g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} + g ^ {\ mu \ beta} g ^ {\ nu \ alpha} -g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta}) \ parcial _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {\ beta } \ phi -g ^ {\ mu \ nu} mc ^ {2} {\ bar {\ phi}} \ phi}

x

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e quando a métrica é plana (Minkowski), seus componentes são:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} T ^ {00} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {mc ^ {4}}} \ left (\ parcial _ {0} {\ bar {\ phi }} \ parcial _ {0} \ phi + c ^ {2} \ parcial _ {k} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {k} \ phi \ right) + m {\ bar {\ phi} } \ phi, \\ T ^ {0i} = T ^ {i0} & = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {mc ^ {2}}} \ esquerda (\ parcial _ {0} {\ barra {\ phi}} \ parcial _ {i} \ phi + \ parcial _ {i} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {0} \ phi \ right), \ \ mathrm {e} \\ T ^ {ij} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ esquerda (\ parcial _ {i} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {j} \ phi + \ parcial _ {j} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {i} \ phi \ right) - \ delta _ {ij} \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ parcial _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ parcial _ {\ beta} \ phi + mc ^ {2} {\ bar {\ phi}} \ phi \ right). \ end {alinhado}}}

x

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Definições variantes de tensão-energia [ editar ]

Existem várias definições inequívocas de estresse não-gravitacional-energia:

Tensor de tensão e energia de Hilbert [ editar ]

O tensor de tensão e energia de Hilbert é definido como a derivada funcional

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta S _ {\ mathrm {matter}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ parcial ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter }})} {\ parcial g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}}} {\ parcial g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}},}

x

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Onde $${\ displaystyle S _ {\ mathrm {matter}}}é a parte não gravitacional da ação ,$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {matter}}}é a parte não gravitacional da densidade Lagrangiana , e a equação de Euler-Lagrange foi usada. Isso é simétrico e invariável pelo medidor. Consulte Ação de Einstein – Hilbert para obter mais informações.

Na física relativística , o tensor eletromagnético de tensão-energia é a contribuição para o tensor de tensão-energia devido ao campo eletromagnético . ^[1] O tensor energia-estresse descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo . O tensor eletromagnético de tensão-energia contém o negativo do tensor de tensão Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição [ editar ]

Unidades SI [ editar ]

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético de tensão-energia em unidades SI é ^[2]

$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [F ^ {\ mu \ alpha} F ^ {\ nu} {} _ {\ alpha } - {\ frac {1} {4}} \ eta ^ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ right] \ ,.}

x

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Onde $${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}é o tensor eletromagnético e onde$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}é o tensor métrico de Minkowski da assinatura métrica (- +++). Ao usar a métrica com assinatura (+ −−−), a expressão para$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}} terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} { \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) & S _ {\ text {x}} / c & S _ {\ text {y}} / c & S _ {\ text {z}} / c \\ S _ {\ text {x}} / c & - \ sigma _ {\ text {xx}} e - \ sigma _ {\ text {xy}} e - \ sigma _ {\ text {xz}} \\ S _ {\ text {y} } / c & - \ sigma _ {\ text {yx}} & - \ sigma _ {\ text {yy}} & - \ sigma _ {\ text {yz}} \\ S _ {\ text {z}} / c & - \ sigma _ {\ text {zx}} e - \ sigma _ {\ text {zy}} e - \ sigma _ {\ text {zz}} \ end {bmatrix}},}

Onde

$${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B},}

é o vetor de Poynting ,

$${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) \ delta _ {eu j}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS 

é o tensor de tensão de Maxwell , e c é a velocidade da luz . Portanto,$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}é expresso e medido em unidades de pressão SI ( pascal ).

Nas teorias relativísticas clássicas da gravitação de campo , particularmente na relatividade geral , uma condição de energia é uma das várias condições alternativas que podem ser aplicadas ao conteúdo da matéria da teoria, quando não é possível ou desejável especificar esse conteúdo explicitamente. A esperança é que qualquer teoria da matéria razoável satisfaça essa condição ou, pelo menos, preserve a condição se for satisfeita pelas condições iniciais.

As condições de energia não são restrições físicas em si, mas são condições de fronteira impostas matematicamente que tentam capturar a crença de que "a energia deve ser positiva". ^[1] Sabe-se que muitas condições de energia não correspondem à realidade física - por exemplo, os efeitos observáveis ​​da energia escura são conhecidos por violar a forte condição energética. ^[2] [3]

Na relatividade geral, as condições de energia são frequentemente usadas (e necessárias) em provas de vários teoremas importantes sobre buracos negros, como o teorema do não cabelo ou as leis da termodinâmica do buraco negro .

Motivação [ editar ]

Na relatividade geral e nas teorias aliadas, a distribuição da massa, momento e estresse devido à matéria e a quaisquer campos não-gravitacionais é descrita pelo tensor energia-momento (ou tensor da matéria )$${\ displaystyle T ^ {ab}}. No entanto, a equação do campo de Einstein não é muito exigente quanto a que tipos de estados da matéria ou campos não-gravitacionais são admissíveis em um modelo de espaço-tempo. Isso é ao mesmo tempo uma força, uma vez que uma boa teoria geral da gravitação deve ser maximamente independente de quaisquer suposições relativas à física não-gravitacional e uma fraqueza, porque, sem algum critério adicional, a equação de campo de Einstein admite soluções putativas com propriedades que muitos físicos consideram não- físicas , ou seja, muito estranho para se parecer com algo no universo real, mesmo que aproximadamente.

As condições de energia representam esses critérios. Grosso modo, eles descrevem de maneira grosseira propriedades comuns a todos (ou quase todos) estados da matéria e a todos os campos não-gravitacionais que são bem estabelecidos na física, enquanto são suficientemente fortes para descartar muitas "soluções" não físicas da equação de campo de Einstein.

Matematicamente falando, a característica distintiva mais aparente das condições de energia é que elas são essencialmente restrições aos valores próprios e vetores próprios do tensor da matéria. Uma característica mais sutil, mas não menos importante, é que elas são impostas por eventos , no nível dos espaços tangentes . Portanto, eles não têm esperança de descartar recursos globais desagradáveis , como curvas temporais fechadas .

Algumas quantidades observáveis [ editar ]

Para entender as declarações das várias condições de energia, é preciso estar familiarizado com a interpretação física de algumas quantidades escalares e vetoriais construídas a partir de vetores temporais ou nulos arbitrários e do tensor da matéria.

Primeiro, um campo vetorial unitário semelhante ao tempo $${\ displaystyle {\ vec {X}}}pode ser interpretado como definindo as linhas do mundo de uma família de observadores ideais (possivelmente não inerciais). Então o campo escalar

$${\ displaystyle \ rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}

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pode ser interpretada como a densidade total de energia de massa (matéria mais energia de campo de qualquer campo não-gravitacional) medida pelo observador de nossa família (em cada evento em sua linha mundial). Da mesma forma, o campo vetorial com componentes$${\ displaystyle - {T ^ {a}} _ {b} X ^ {b}}representa (após uma projeção) o momento medido por nossos observadores.

Segundo, dado um campo vetorial nulo arbitrário $${\ displaystyle {\ vec {k}},} o campo escalar

$${\ displaystyle \ nu = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b}}

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pode ser considerado um tipo de caso limitante da densidade de energia e massa.

Terceiro, no caso da relatividade geral, dado um campo vetorial arbitrário semelhante ao tempo $${\ displaystyle {\ vec {X}}}, novamente interpretado como descrevendo o movimento de uma família de observadores ideais, o escalar de Raychaudhuri é o campo escalar obtido ao traçar o tensor de maré correspondente a esses observadores em cada evento:

$${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {m}} _ {m} = R_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}

Essa quantidade desempenha um papel crucial na equação de Raychaudhuri . Da equação de campo de Einstein obtemos imediatamente

$${\ displaystyle {\ frac {1} {8 \ pi}} {E [{\ vec {X}}] ^ {m}} _ {m} = {\ frac {1} {8 \ pi}} R_ { ab} X ^ {a} X ^ {b} = \ left (T_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Tg_ {ab} \ right) X ^ {a} X ^ {b},}

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Onde $${\ displaystyle T = {T ^ {m}} _ {m}} é o traço do tensor da matéria.

Declaração matemática [ editar ]

Existem várias condições alternativas de energia em uso comum:

Condição de energia nulo [ editar ]

A condição de energia nula estipula que, para cada campo de vetor nulo que aponta para o futuro $${\ displaystyle {\ vec {k}}},

$${\ displaystyle \ nu = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} \ geq 0.}

Cada um deles possui uma versão média , na qual as propriedades mencionadas acima devem manter apenas em média as linhas de fluxo dos campos vetoriais apropriados. Caso contrário, o efeito Casimir leva a exceções. Por exemplo, a condição de energia nula média afirma que para cada linha de fluxo (curva integral)$${\ displaystyle C} do campo de vetor nulo $${\ displaystyle {\ vec {k}},} nós devemos ter

$${\ displaystyle \ int _ {C} T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} d \ lambda \ geq 0.}

Fraca condição energética [ editar ]

A condição de energia fraca estipula que, para todos os campos vetoriais semelhantes ao tempo $${\ displaystyle {\ vec {X}},} a densidade da matéria observada pelos observadores correspondentes é sempre não negativa:

$${\ displaystyle \ rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} \ geq 0.}

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Condição de energia dominante [ editar ]

A condição de energia dominante estipula que, além da condição de energia fraca ser verdadeira, para todos os campos de vetores causais que apontam para o futuro (timelike ou null)$${\ displaystyle {\ vec {Y}},} o campo vetorial $${\ displaystyle - {T ^ {a}} _ {b} Y ^ {b}}deve ser um vetor causal que aponta para o futuro. Ou seja, nunca se pode observar que a energia em massa está fluindo mais rápido que a luz.

Condição de energia forte [ editar ]

A forte condição de energia estipula que, para todos os campos vetoriais semelhantes ao tempo $${\ displaystyle {\ vec {X}}}, o traço do tensor de maré medido pelos observadores correspondentes é sempre não negativo:

$${\ displaystyle \ left (T_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Tg_ {ab} \ right) X ^ {a} X ^ {b} \ geq 0}

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Existem muitas configurações clássicas de matéria que violam as fortes condições de energia, pelo menos de uma perspectiva matemática. Por exemplo, um campo escalar com um potencial positivo pode violar essa condição. Além disso, observações de energia escura / constante cosmológica mostram que a condição de energia forte falha em descrever nosso universo, mesmo quando a média é feita em escalas cosmológicas. Além disso, é fortemente violada em qualquer processo inflacionário cosmológico (mesmo que não seja conduzido por um campo escalar). ^[4]

Fluido perfeito [ editar ]

Implicações em algumas condições de energia, no caso de um fluido perfeito.

Fluidos perfeitos possuem um tensor de matéria

$${\ displaystyle T ^ {ab} = \ rho u ^ {a} u ^ {b} + ph ^ {ab},}

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Onde $${\ displaystyle {\ vec {u}}}é a quatro velocidades das partículas de matéria e onde$${\ displaystyle h ^ {ab} \ equiv g ^ {ab} + u ^ {a} u ^ {b}}é o tensor de projeção nos elementos do hiperplano espacial ortogonal à velocidade de quatro velocidades, em cada evento. (Observe que esses elementos do hiperplano não formarão uma hiper-fatia espacial, a menos que a velocidade esteja livre de vorticidade ; isto é, irrotacional .) Com relação a um quadro alinhado ao movimento das partículas de matéria, os componentes do tensor de matéria assumem a forma diagonal

{\ displaystyle T ^ {{\ hat {a}} {\ hat {b}}} = {\ begin {bmatrix} \ rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \ end {bmatrix}}.}

Aqui, $${\ displaystyle \ rho}é a densidade de energia e$${\ displaystyle p}é a pressão .

As condições de energia podem ser reformuladas em termos desses valores próprios:

• A condição de energia nula estipula que $${\ displaystyle \ rho + p \ geq 0.}
• A condição de energia fraca estipula que $${\ displaystyle \ rho \ geq 0, \; \; \ rho + p \ geq 0.}
• A condição de energia dominante estipula que $${\ displaystyle \ rho \ geq | p |.}
• A forte condição energética estipula que $${\ displaystyle \ rho + p \ geq 0, \; \; \ rho + 3p \ geq 0.}

As implicações entre essas condições são indicadas na figura à direita. Observe que algumas dessas condições permitem pressão negativa . Além disso, observe que, apesar dos nomes, a condição de energia forte não implica a condição de energia fraca, mesmo no contexto de fluidos perfeitos .